一、一个简单的拓扑学问题——求证“四色问题”（论文文献综述）
王涛[1]（2015）在《流形及其相关领域历史的若干研究》文中指出流形概念起源于德国数学家黎曼1854年关于几何基础的演讲,其中他将流形理论分为几何与拓扑两个部分.其后数学家分别沿几何、拓扑等方向对流形展开研究,得到了不少结果.然而流形的严格定义一直没有得到,制约着这门学科的进一步发展.直到1913年外尔《黎曼面的概念》出版,才首次给出了二维流形的公理化定义,从此流形理论进入新的发展时期.到20世纪中叶,流形成为微分几何、微分拓扑、大范围分析、微分动力系统与叶状结构等学科的基础.这些学科属于结构数学范畴,在近现代数学的发展过程中处于主流的位置.可以说流形是20世纪数学有代表性的概念和理论,它已成为现代数学最重要的思想之一,在数学乃至理论物理中占有越来越重要的地位.本文在掌握原始文献的基础上,辅以相关的历史研究文献,以时间为轴线,以重要数学家的工作为节点,梳理并总结了流形的历史渊源与理论框架;探索了以黎曼、克莱因与庞加莱等为代表的早期数学家对流形的不同认识,考察了以外尔、维布伦与惠特尼等为代表的后期数学家对流形的贡献.本文的主要内容如下:1.梳理并总结了流形从19世纪50年代到20世纪30年代发展的整体框架.2.从几何学、分析学和物理学三个方面,以流形概念在这些学科中的出现或隐现为标志,详细考察了流形的起源.对黎曼的n重延伸流形进行了细致的分析,指出了它有两大特征:局部欧氏与可微,并对n重延伸流形的曲率概念进行了解读,论述了黎曼报告的影响.3.首次考察了克莱因的学术背景,探索了克利福德与普里姆对克莱因认识流形的影响.以克莱因对流形的认识为中心,介绍了《埃尔朗根纲领》与《关于黎曼代数函数及其积分的理论》的主要内容.由于研究目标不同,克莱因在流形的认识和处理上与黎曼有差别.4.细致地考察了庞加莱的《位置分析》及其补篇中的流形概念,介绍了庞加莱定义流形的两种方式,分析了它们的实质与关系,解读了流形的几何表示与不连续群表示.对丹麦数学家希嘉德的生平与工作进行了粗略论述.此外,还对庞加莱之后的拓扑学的发展以及拓扑学家进行了一定程度的介绍.5.在掌握原始文献的基础上,介绍了《黎曼面的概念》的主要内容、特色与影响.分析了外尔引入流形的目的、动机、方法,总结了外尔引入流形的路线,探讨了克莱因、希尔伯特等人对外尔的影响.深入分析了外尔1913年对流形与黎曼面概念的贡献,并简要讨论了其中反映的数学哲学思想.6.对美国数学家维布伦与惠特尼进行了详细的传记研究,解读了维布伦给出了现代微分流形定义与惠特尼证明嵌入定理的工作,从流形定义的公理化角度对他们的贡献进行了深入的历史分析.7.对流形中译名的问世进行了研究,高度评价了江泽涵对拓扑学名词的审定工作.
种文文[2]（2015）在《哈密顿路的一个判定条件》文中认为图论是离散数学和组合数学的分支,研究它有着非常重要的理论和应用价值。随着计算机科学的飞速发展,图论的应用也越来越广泛。所谓图论就是一些点及连接这些点的边的集合,大数学家欧拉1736年在解决“哥尼斯堡七桥问题”时创立了图论。对于图,有两个非常重要的“遍历”问题,第一是遍历图中的每条边恰好一次,第二是遍历图中的点恰好一次。如果存在一条经过图中的每条边正好一次的回路,则该图称为欧拉图,如果存在一条边经过图中每个点正好一次的路,则该路称为哈密顿路,若哈密顿路又是一条回路,则称为哈密顿回路,有哈密顿回路的图称为哈密顿图。欧拉已经成功地解决了欧拉图的判定问题。但哈密顿图的判定却是个世界性的数学难题。本文就一个图是否存在哈密顿路进行研究,给出了存在哈密顿路的一个新的充分条件。第一章绪论讨论了课题的研究意义和研究现状。第二章介绍了图的概念和基本性质。第三章是本文的重点。图论专家给出了一个有名的哈密顿路存在的充分条件:设G是n阶简单图且n≥3,对于G中任意两个不相邻的顶点u,v,若d（u）+d（v）≥|v（G）|-1成立,则G中必存在Hamilton路。在第三章中,我们将上述结果进行了改进,我们的结论如下:设G是有n（n≥5）个结点的简单连通图,如果G中任意两个顶点u,v,若d（u）+d（v）≥|v（G）|-2成立,则G中存在哈密顿路。
陈克胜[3]（2012）在《拓扑学在中国（1931-1949）》文中提出1895年及随后的几年内，法国数学家庞伽莱发表了题为《位置分析》的系列论文，标志拓扑学的诞生。20世纪初，拓扑学得到了迅猛地发展，并成为一门成熟的学科。此时的中国才有留学生开始学习和研究拓扑学，随后，拓扑学引入国内，并逐渐开展了拓扑学的交流与传播，从而极大地推动了中国的拓扑学研究，取得了杰出的成就。而已有的研究文献没有全面地反映中国在拓扑学上的贡献，因此，对拓扑学在中国的研究具有十分重要的理论价值和现实意义。本文在查阅了大量原始文献和相关的研究文献基础上，通过文献分析等方法对中国在拓扑学的贡献作了全面而详细的研究，主要的成果如下：1．从原始文献和研究文献出发，考查早期中国所发表的数学论文，论证了中国发表的第一篇拓扑学论文，从而澄清了事实，更正了中国在拓扑学研究的起始点。2．查阅原始文献，厘清了参与拓扑学研究的中国人及其研究成果。统计表明，参与过拓扑学研究的中国人共有16位，共发表了79篇论文，出版了2部着作，完成了6篇博士论文，从而摸清了中国在拓扑学研究的“家底”，突破了已有研究文献的局限性。另外，研究表明，中国拓扑学家之间还存在着师生关系，可分为二代，进而研究了这些拓扑学家及其走向拓扑学研究的之路。3．从79篇中国拓扑学论文中查阅到了63篇，在此基础上进行了研读，基本弄清了中国拓扑学家的研究工作，并适当对其进行历史评述，从而较为客观地、全面地反映中国在拓扑学的贡献。其中，首次较为全面地明确了胡世桢、王宪钟等人的拓扑学工作，初步了解了他们的研究过程；首次分析了中国在拓扑学研究的特征，以及这些研究成果之间的关系，表明中国拓扑学家们紧跟一流拓扑学家的工作，抓住了一些主流问题，得到了一些重要的结论，并且它们之间有一定的关联度；总结了中国在拓扑学的研究领域的成果，主要有同调论、同伦论、同调群与同伦群的关系、不动点类理论、覆盖空间理论、临界点理论、示性类理论、纤维丛理论和有关一般（点集）拓扑的一些领域。4．在已有研究文献的基础上进一步查阅和整理原始文献，梳理了中国拓扑学家所开展的活动，包括拓扑学在国内大学的教研、在中国数学会的学术交流和国内外拓扑学家间的交流，分析了这些活动对中国在拓扑学研究的影响。另外，首次评述了中国第一部拓扑学教科书译着，明确了这部译着的历史意义，即基本奠定了拓扑学术语的中文翻译的基调。
徐秋茹,赵寒涛,李乃川,黄兴滨[4]（2010）在《对角变换四染色平面图》文中研究说明尽管利用计算机已经证明了四色猜想问题,但对任意平面图的四染色方法还没有解决。本文基于对角变换的原理提出一个平面图的四染色方法,为平面图的四染色问题提供一种尝试性方案。应用我们的染色方法成功地对着名的加德纳图进行了四染色处理。
李娅敏[5]（2009）在《高中数学“欧拉公式与闭曲面分类”教学设计研究》文中研究表明“欧拉公式与闭曲面分类”是2003年教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》中选修专题之一,为应对高中数学课程改革的需要,培训能胜任选修课教学需要的高中数学教师是非常必要的。本研究以高师生为对象,对高师校本课程《高中数学选修课程专题研究》中的“欧拉公式与闭曲面分类”进行细致的教学设计实验研究。采用的研究方法有:问卷调查法、文献分析法、案例分析法、访谈法。主要研究工作如下:（1）对贵州省部分高中数学教师和高师生进行调查分析,了解他们对“欧拉公式与闭曲面分类”教学目标和内容了解情况,以及对此专题的教学需要,确定教学设计研究的必要性和研究的问题。（2）对“欧拉公式与闭曲面分类”专题内容和教学目标进行研究和分析。（3）根据高师生调查反馈信息和本专题内容特点,采用现代教学设计的“系统设计法”,编制本专题的教学设计方案。（4）开展“欧拉公式与闭曲面分类”专题的教学实验研究。对所作的教学设计的科学性、有效性进行实践检验。（5）教学实验研究取得预期效果:验证了“欧拉公式与闭曲面分类”教学设计方案的可行性;实验中采用了灵活多变的教学方法,适合高师生的实际需求;教学中制作的多媒体课件,发挥了现代教育技术的功能;采用多种评价方式,尝试建立多元化评价内容和目标,取得实效,为职前教师的培训积累了经验。（6）待研究的问题:本研究还需进一步充实实验研究理论基础,扩大实验研究的规模。在“闭曲面分类”是否进入高中教学这一问题上,实验说明还存在诸多困难,有待进一步深入研究。
蔡义东[6]（2002）在《一个简单的拓扑学问题——求证“四色问题”》文中提出
梁芳[7]（2000）在《计算机引起的数学哲学反思》文中研究说明计算机自从20世纪40年代诞生之后，已经成为改变人们生活方式和思维方式最强大的力量，因此也给人们提出了许多值得思考的哲学问题。本文将研究计算机在数学系中的应用而引起的数学哲学问题。 计算机在数学中的新应用，产生了一系列的新生事物：50-60年代以来，数理逻辑学家从理论上证明了，数学所特有的演绎证明可以通过计算机实现，由此出现了机器证明；令众多智者苦苦思索了一个多世纪的四色猜想，借助计算机获得了证明:通过计算机的数值实验发现了非线性科学中的混沌和孤立子；70年代之后，得力于计算机强大显示功能的、一门描述大自然的几何学——分形几何在伯努瓦．B.曼德布罗特（Benoit B．Mandelhrot,1924～）孜孜不倦的钻研中诞生了。……计算机在其中不仅改变着传统的研究数学的方式，还引起了人们对有关数学哲学问题的争论；分形几何是不是数学？四色猜想的计算机证明是不是数学证明？什么是数学证明？……实质上是关于数学性质的争论。 作者通过回顾计算工具演变的历史，叙述了计算机功能的扩展：从数值计算到定理证明再到数学实验。以此为基础，又结合四色猜想的计算机证明和分形几何的建立，引出由计算机变革数学研究方式所带来的争论。然后阐述计算机变革数学研究方式的意义。由于计算机引起大家争论的实质是关于数学的性质，所以就考察历史上人们对于数学性质认识的各种观点，提出并论述了数学的本质在于经验性与演绎性的辩证统一。 本文一共分为四章，简单地说是： 第一章回顾了计算工具的演变，特别是由于科学技术的发展而促使电子计算机的产生。叙述了计算机功能从数值计算到定理证明和数学实验的变化，提供计算机变革传统数学研究方式——一张纸、一支笔和几本参考书——的资料。 第二章考察了计算机在数学应用中的两个具体案例:四色猜想的计算机证明和分形几何的建立。从人们对它们的争议：计算机是否可靠？计算机证明是否是数学证明？计算机是否要变革数学研究方式？分形几何是否是数学？……指出其背后隐含的实质是人们的数学观，即数学的性质是什么。 第三章面对数学家关于计算机引起的数学中新生事物的褒贬，作者肯定计算机变革数学研究方式的意义，并从两个方面加以说明。一方面加速了数学的发展：不仅开辟了数学机械化的新领域，而且还扩大了数学研究的领域；另一方面还揭示了隐藏在计算机中的算法与公理法的辩证关系，为第四章论述数学的性质埋下伏笔。 第四章t通过考察数学哲学史上人们对数学性质的各种观点，再引用一些数学大师对数学性质的经验性与演绎性的论述，首先肯定数学性质的两重性，然后论述经验性与演绎性的辩证关系，从而阐明数学本质上是二者辩证统一的观点。
王敬庚[8]（1986）在《拓扑,外号叫“橡皮几何学”——对中学生的课外讲座之一》文中研究说明 一 从平面几何到拓扑学 平面上的两个三角形,若能“搬动”其中一个使之与另一个重合,则称这两个三角形是全等的。这个允许的“搬动”,由在平面内统一点旋转、平行移动和以一直线为轴的反射所组成。因为这样的“搬动”把平面上的点还变成平面上的点,我们把它看成是平面到自身的一个映射,即平面上的一个变换。显然在这个变换之下,两点间的距离保持不变。我们给这样的变换起个
胡作玄[9]（1982）在《拓扑学简介》文中研究表明近年来拓扑学的研究领域不断扩展,应用广泛。《拓扑学简介》一文对拓扑学的内容和研究方法作了概括的说明,并介绍了对拓扑学作出了重大贡献的人物。
二、一个简单的拓扑学问题——求证“四色问题”（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一个简单的拓扑学问题——求证“四色问题”（论文提纲范文）
（1）流形及其相关领域历史的若干研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 引言 |
| 第一章 流形的历史渊源与理论框架 |
| 1.1 流形概念的起源 |
| 1.1.1 坐标几何——从低维到高维 |
| 1.1.2 曲线、曲面的微分几何——从平直到弯曲 |
| 1.2 流形概念的产生 |
| 1.2.1 几何学中的流形概念 |
| 1.2.2 分析学中的流形概念 |
| 1.2.3 物理学中的流形概念 |
| 1.3 流形思想的传播 |
| 1.3.1 流形的几何理论 |
| 1.3.2 闭曲面的分类 |
| 1.3.3 流形的拓扑理论 |
| 1.4 流形概念的形式化 |
| 1.4.1 流形定义的公理化 |
| 1.4.2 组合同调与对偶定理对流形的限制 |
| 1.4.3 进一步发展 |
| 第二章 黎曼1854年演讲中的流形概念 |
| 2.1 黎曼的空间观念 |
| 2.1.1 离散流形与连续流形 |
| 2.1.2 连续流形的几何与拓扑 |
| 2.2 n重延伸流形的两个特征 |
| 2.2.1 第一个特征——局部同胚于欧氏空间 (拓扑流形) |
| 2.2.2 第二个特征——由切向量定义线元 (可微流形) |
| 2.3 常曲率流形 |
| 2.3.1 黎曼的断言 |
| 2.3.2 黎曼曲率 |
| 2.3.3 常曲率流形 |
| 2.4 黎曼演讲的影响 |
| 2.4.1 贝尔特拉米——通向高维非欧几何 |
| 2.4.2 赫姆霍兹——以变换为基础的几何学 |
| 第三章 克莱因对流形的认识 |
| 3.1 学术背景对克莱因流形认识的影响 |
| 3.1.1 别样的求学经历 |
| 3.1.2 克利福德的影响 |
| 3.1.3 鲜为人知的普里姆 |
| 3.2 《埃尔朗根纲领》对流形的论述 |
| 3.2.1 纲领的本质 |
| 3.2.2 克莱因流形与空间的关系 |
| 3.2.3 流形的作用 |
| 3.3 《代数函数及其积分》的主要内容 |
| 3.3.1 黎曼的博士论文及其应用 |
| 3.3.2 《代数函数及其积分》的主要内容 |
| 第四章 《位置分析》中的流形定义 |
| 4.1 第一个流形定义 |
| 4.2 第二个流形定义 |
| 4.2.1 第二个流形定义 |
| 4.2.2 两个定义之间的关系 |
| 4.2.3 同调与贝蒂数 |
| 4.2.4 流形的定向 |
| 4.3 几何表示与不连续群表示 |
| 4.3.1 几何表示——正方体流形 |
| 4.3.2 不连续群表示 |
| 4.3.3 其他表示 |
| 4.4 补篇中的流形 |
| 4.4.1 希嘉德小传 |
| 4.4.2 补篇中的流形定义 |
| 4.4.3 早期的拓扑学 |
| 4.5 小结 |
| 第五章 《黎曼面的概念》中的流形 |
| 5.1 《黎曼面的概念》介绍 |
| 5.1.1 背景、内容介绍与影响 |
| 5.1.2 本书的特色 |
| 5.2 外尔引入流形与黎曼面的路线 |
| 5.2.1 克莱因对黎曼面的贡献 |
| 5.2.2 希尔伯特的平面定义 |
| 5.2.3 希尔伯特问题的激发 |
| 5.3 外尔的流形定义 |
| 5.3.1 从解析构形到二维流形 |
| 5.3.2 外尔的曲面定义 |
| 5.3.3 黎曼面的概念 |
| 5.4 小结 |
| 第六章 微分流形概念的澄清 |
| 6.1 现代微分流形概念的引入 |
| 6.1.1 美国数学界早期卓越的领导者——维布伦 |
| 6.1.2 “正则流形”的基本思想 |
| 6.1.3 三组公理 |
| 6.1.4 《微分几何的基础》 |
| 6.2 惠特尼与嵌入定理 |
| 6.2.1 惠特尼：微分拓扑的奠基人 |
| 6.2.2 欧氏空间中的微分流形 |
| 6.2.3 微分流形 |
| 6.3 小结 |
| 第七章 流形中译名的问世 |
| 7.1 江泽涵与拓扑名词的审定 |
| 7.2 江泽涵与中国拓扑学的发展 |
| 第八章 结论 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间的科研成果 |
（2）哈密顿路的一个判定条件（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 课题的研究意义 |
| 1.2 课题的研究现状及研究背景 |
| 1.2.1 课题的研究现状 |
| 1.2.2 课题的研究背景 |
| 第二章 图的概念及性质 |
| 2.1 图的基本概念及符号 |
| 2.2 通路与回路的定义及性质 |
| 2.3 连通性与连通度 |
| 2.4 哈密顿图的概念及性质 |
| 第三章 哈密顿路的一个判定条件 |
| 3.1 本文的主要结论及证明过程 |
| 3.2 哈密顿图的充分、必要条件 |
| 3.3 图的独立集与图的Hamilton性的关系 |
| 3.4 哈密顿图的相关结论 |
| 3.5 哈密顿图的应用 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录 A（攻读学位期间的学术论文目录） |
（3）拓扑学在中国（1931-1949）（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 绪论 |
| 一.选题的背景与意义 |
| 二.文献综述 |
| 三.史料来源 |
| 四.本文的工作 |
| （一）研究方法 |
| （三）研究内容 |
| （四）创新性 |
| （五）论文的框架 |
| 1 拓扑学的发展概况（至 1949 年） |
| 1.1 前史时期 |
| 1.2 初创时期 |
| 1.3 飞跃时期 |
| 2 拓扑学在中国的发展概况(至 1949 年) |
| 2.1 拓扑学在中国的起始之争 |
| 2.1.1 源起 |
| 2.1.2 第一篇拓扑学论文辩考 |
| 2.1.3 俞大维的数学论文内容 |
| 2.1.4 江泽涵的第一篇数学论文的内容 |
| 2.2 中国拓扑学家 |
| 2.2.1 第一代拓扑学家 |
| 2.2.2 第二代拓扑学家 |
| 2.3 中国拓扑学家的研究概况 |
| 2.3.1 着作出版情况 |
| 2.3.2 博士论文完成情况 |
| 2.3.3 论文发表情况 |
| 2.3.4 中国的贡献 |
| 3 中国拓扑学家开展的活动 |
| 3.1 国内的开展情况 |
| 3.1.1 拓扑学在国内科研院所的开设情况 |
| 3.1.2 拓扑学在中国数学会的交流情况 |
| 3.2 中国第一部拓扑学教科书译着 |
| 3.2.1 原着及其翻译经过 |
| 3.2.2 译着的主要内容 |
| 3.2.3 评述 |
| 3.3 与国外的交流 |
| 3.3.1 来华讲学的国外拓扑学家 |
| 3.3.2 去海外访问的中国拓扑学家 |
| 4 中国拓扑学家的研究工作（上） |
| 4.1 同调论 |
| 4.1.1 同调论的发展背景 |
| 4.1.2 同调论在中国的研究 |
| 4.2 同伦论 |
| 4.2.1 同伦论的发展背景 |
| 4.2.2 同伦论在中国的研究工作 |
| 4.3 同调群与同伦群的关系理论 |
| 4.3.1 同调群与同伦群的关系的研究背景 |
| 4.3.2 中国的研究工作 |
| 4.4 不动点类理论和覆盖空间理论 |
| 4.4.1 国外的研究背景 |
| 4.4.2 中国的研究工作 |
| 5 中国拓扑学家的研究工作（下） |
| 5.1 临界点理论 |
| 5.1.1 临界点理论的研究背景 |
| 5.1.2 中国在临界点理论的研究工作 |
| 5.2 示性类理论 |
| 5.2.1 示性类理论的研究背景 |
| 5.2.2 中国在示性类理论的研究工作 |
| 5.3 纤维丛理论 |
| 5.3.1 纤维丛理论的研究背景 |
| 5.3.2 中国在纤维丛理论的研究 |
| 5.4 一般（点集）拓扑 |
| 5.4.1 拓扑空间的有界性 |
| 5.4.2 集合的稀缺性和区域性 |
| 5.4.3 齐次空间 |
| 6 拓扑学在中国的特点与启示 |
| 6.1 拓扑学在中国的特点 |
| 6.1.1 拓扑学在中国的外部环境 |
| 6.1.2 拓扑学在中国的内在因素 |
| 6.2 拓扑学在中国的历史启示 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间发表的学术论文目录 |
（4）对角变换四染色平面图（论文提纲范文）
| 1 对偶图与极大平面图 |
| 2 标准图与对角变换 |
| 3 对角变换的四染色方法 |
| 4 结论 |
（5）高中数学“欧拉公式与闭曲面分类”教学设计研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 引言 |
| 1.1 问题的提出 |
| 1.2 研究的必要性 |
| 1.2.1 新课程改革的需要 |
| 1.2.2 在职教师知识储备情况 |
| 1.2.3 高师生知识储备情况 |
| 1.3 研究的主要内容及研究方法 |
| 1.3.1 研究的主要内容 |
| 1.3.2 研究的主要方法 |
| 第二章 "欧拉公式与闭曲面分类"已有研究的概述 |
| 2.1 中学数学课程中"欧拉公式与闭曲面分类"的相关内容 |
| 2.1.1 新课程标准中"欧拉公式与闭曲面分类"的内容与要求 |
| 2.1.2 原大纲中"欧拉公式"的内容与要求 |
| 2.1.3 《标准》与《大纲》中"欧拉公式与闭曲面分类"的内容比较 |
| 2.2 "欧拉公式与闭曲面分类"的教学现状概述 |
| 2.2.1 现行教材中"欧拉公式"的教学现状 |
| 2.2.2 新课改后专题"欧拉公式与闭曲面分类"的教学现状 |
| 2.3 高中数学教师对本专题内容的掌握情况及调查 |
| 2.3.1 高中数学教师对本专题内容的掌握情况 |
| 2.3.2 对贵州省高中数学教师专题知识掌握情况的调查分析 |
| 2.4 高师生对"欧拉公式与闭曲面分类"的掌握情况及调查 |
| 2.4.1 高师生对"欧拉公式与闭曲面分类"的掌握情况 |
| 2.4.2 对贵州省部分高师生本专题知识掌握情况的调查分析 |
| 第三章 "欧拉公式与闭曲面分类"教学设计 |
| 3.1 教学设计理论概述 |
| 3.1.1 教学设计的涵义 |
| 3.1.2 系统理论与教学设计 |
| 3.1.3 传播理论与教学设计 |
| 3.1.4 学习理论与教学设计 |
| 3.1.5 教学理论与教学设计 |
| 3.1.6 教学设计过程的模式及其组成部分 |
| 3.2 学习需要分析 |
| 3.2.1 拓扑学的有关内容概述 |
| 3.2.2 拓扑学思想进入高中数学课程的必要性 |
| 3.2.3 学习者对"欧拉公式与闭曲面分类"专题内容掌握情况的调查分析 |
| 3.2.4 高师生对本专题学习需要分析表的制定 |
| 3.3 学习者分析 |
| 3.3.1 学习者的特征 |
| 3.3.2 学习者对"欧拉公式与闭曲面分类"初始能力的确定 |
| 3.4 教学内容分析 |
| 3.4.1 教学内容的选择与单元的组织 |
| 3.4.2 确定单元目标 |
| 3.4.3 学习任务分析 |
| 3.4.4 专题"欧拉公式与闭曲面分类"教学策略的选择 |
| 3.4.4.1 教学活动程序 |
| 3.4.4.2 教学组织形式的选择 |
| 3.4.4.3 教学方法的选择 |
| 3.4.4.4 教学媒体的选择 |
| 3.4.4.5 教学设计过程 |
| 3.5 教学设计方案的编制 |
| 3.5.1 课题1:拓扑变换与拓扑不变量 |
| 3.5.2 课题2:欧拉公式的拓扑证明 |
| 3.5.3 课题3:闭曲面分类 |
| 第四章 "欧拉公式与闭曲面分类"教学实验 |
| 4.1 实验对象的确定 |
| 4.2 实验目的 |
| 4.3 实验进程 |
| 4.4 教学设计方案实施案例分析 |
| 4.4.1 案例一 拓扑学基本概念的教学 |
| 4.4.2 案例二 现代教育技术在证明欧拉公式中的应用 |
| 4.4.3 案例三 拓扑思想简单应用——哥尼斯堡七桥问题 |
| 第五章 实验分析及总结 |
| 5.1 专题教学考核、评价方式 |
| 5.1.1 口试 |
| 5.1.2 笔试 |
| 5.2 撰写学习报告 |
| 5.3 教学反思与教学设计方案的调整 |
| 5.3.1 教学内容的反思 |
| 5.3.2 教学过程的反思 |
| 5.3.3 学生学习活动的反思 |
| 5.3.4 教学方法及多媒体辅助本专题教学的反思 |
| 第六章 研究结论和展望 |
| 6.1 研究结论 |
| 6.2 不足与展望 |
| 参考文献 |
| 附录一 高中数学教师对《欧拉公式与闭曲面分类》了解情况调查查问卷 |
| 附录二 高师生对《欧拉公式与闭曲面分类》了解情况调查查问卷 |
| 附录三 《欧拉公式与闭曲面分类》课堂后测题 |
| 附录四 《欧拉公式与闭曲面分类》期末考试试题 |
| 感谢 |
（7）计算机引起的数学哲学反思（论文提纲范文）
| 前言 |
| 第一章 计算机在数学中的新应用 |
| 第一节 作为数值计算的工具 |
| 第二节 作为定理证明的工具 |
| 第三节 作为数学实验的工具 |
| 第二章 关于四色问题和分形几何的争论与实质 |
| 第一节 理论上的争论 |
| 第二节 四色猜想证明的历史及其争论 |
| 第三节 分形几何的产生及其争论 |
| 第四节 争论的实质 |
| 第三章 计算机变革数学研究方式的意义 |
| 第一节 加速数学的发展 |
| 第二节 重新认识算法与公理法的关系 |
| 第四章 数学性质的辩证性 |
| 第一节 关于数学性质的历史考察 |
| 第二节 着名数学家对数学性质两重性的论述 |
| 第三节 数学本质是经验性与演绎性的辩证统一 |
| 参考文献 |
| 后记 |
四、一个简单的拓扑学问题——求证“四色问题”（论文参考文献）
- [1]流形及其相关领域历史的若干研究[D]. 王涛. 河北师范大学, 2015(01)
- [2]哈密顿路的一个判定条件[D]. 种文文. 湖南大学, 2015(03)
- [3]拓扑学在中国（1931-1949）[D]. 陈克胜. 内蒙古师范大学, 2012(07)
- [4]对角变换四染色平面图[J]. 徐秋茹,赵寒涛,李乃川,黄兴滨. 黑龙江科学, 2010(06)
- [5]高中数学“欧拉公式与闭曲面分类”教学设计研究[D]. 李娅敏. 贵州师范大学, 2009(12)
- [6]一个简单的拓扑学问题——求证“四色问题”[J]. 蔡义东. 大科技(科学之迷), 2002(01)
- [7]计算机引起的数学哲学反思[D]. 梁芳. 中国社会科学院研究生院, 2000(01)
- [8]拓扑,外号叫“橡皮几何学”——对中学生的课外讲座之一[J]. 王敬庚. 数学通报, 1986(01)
- [9]拓扑学简介[J]. 胡作玄. 自然杂志, 1982(07)