一、有理曲面的区间Bézier曲面的逼近（论文文献综述）
杨洁[1]（2017）在《基于M（o|¨）bius变换的二次曲面的双四次多项式逼近》文中进行了进一步梳理计算机辅助几何设计（CAGD）主要研究自由型曲线曲面,而以Bernstein为基函数的有理B（?）zier曲线曲面因其具有良好的几何特性,在实际工程中得到了广泛的应用。但是由于有理曲线曲面微分和积分计算的复杂度以及产品设计中不同系统之间数据交换和传递的需要,有时还需要用多项式曲线曲面来逼近有理曲线曲面,所以有理B（?）zier曲线曲面的多项式逼近目前依然是一个值得深入研究的课题。在以往的有理B（?）zier曲线曲面的多项式逼近方法中,大部分文章都是在L2范数下进行逼近研究。而本文提出了一种基于M（o|¨）bius参数变换的新距离函数来近似Hausdorff距离,并在该距离下探讨二次曲面（即双二次有理B（?）zier曲面片）的双四次多项式逼近问题。通过将逼近曲面的控制顶点分为边界点和内部顶点两部分,分别进行边界曲线及二次曲面内部的多项式逼近,将逼近曲面的控制顶点用M（o|¨）bius变换中的参数进行表示。然后,通过求解新逼近距离函数的最小值,得到M（o|¨）bius参数变换中的最佳参数值,以及双四次多项式逼近曲面的控制顶点。最后,用实例证明了该方法的有效性和正确性。
刘羽[2]（2012）在《带约束的各类曲面逆向设计和曲线降阶逼近》文中进行了进一步梳理带约束的各类曲面逆向设计和带约束的曲线降多阶逼近是计算机辅助几何设计（CAGD）领域中具有重要研究价值的两类基本问题.CAGD中绝大数操作都是以曲线曲面为对象的,而无论在工业制造等领域有潜在应用价值的带有特殊曲线约束的各类曲面的逆向设计,还是在数据压缩和传递中起重要作用的带有端点高阶约束的曲线降多阶逼近,都是近年来CAGD学术界的研究热点及难点之一.这里所谓的特殊曲线约束,系指把一条或两条已知参数曲线,作为目标曲面的测地线、曲率线、渐近线或边界线；这里所谓的曲面逆向设计,系指对传统的几何计算反其道而行之,并非对已知的曲面求它的测地线、曲率线、渐近线或边界线,而是把已知曲线作为潜在公共特殊曲线反求曲面束,曲面束中每张曲面均以已知曲线为其测地线、曲率线、渐近线或边界线,使用户有无穷多个候选曲面可供挑选；这里所谓的各类曲面,系指曲面允许有可展、有理、有理可展、离散极小等多种类型.由此可见,本文立意与构思是颠复常规与叛逆传统的,因而是新颖的,对CAGD无疑具有很好的理论意义与应用价值.本文围绕以上两类问题展开深入研究,取得以下丰富的创新成果：1、保端点高阶导矢插值的WSGB曲线的显式最佳降多阶.WSGB曲线与Bezier曲线是兼容的,并且在求值方面要优于Bezier曲线,因此对其降阶逼近的研究是有实际意义的,本文在这方面主要贡献有两点,其一、根据对偶基的理论推导了Wang-Said型广义Ball （WSGB）基与幂基之间的转换矩阵；其二、根据此转换矩阵,实现了对WSGB曲线在L2范数意义下保端点高阶导矢插值的显式最佳降多阶逼近,该降阶逼近算法具有显式表示、端点约束、逼近最佳、先验误差估计、一次性降多阶等多种优点.2、带有空间闭折线为边界线约束的离散极小曲面的设计.寻找以某条给定的空间闭折线为边界的一个三角网格,使得在所有具有这条相同边界的网格中,其总面积为最小,这个问题被称为Plateau-Mesh问题.以往的文献采用网格面积最优化来实现,然而从函数角度来说,其构造方法仅得到了网格面积函数的局部极小值,但未必是全局极小值.基于此,本文采用最优化离散平均曲率来构造极小三角网格,给出了网格曲面平均曲率的求导公式,完成了编程实现和误差分析,实例结果表明该算法是正确和有效的.3、以已知的一条或两条曲线为测地线的可展,有理以及有理可展曲面的设计.利用局部Frenet正交标架,给出了过给定一条空间曲线作为公共测地线的有理Bezier可展等参曲面束的显式表达,讨论了插值平面和非平面的已知曲线作为测地线的有理可展曲面的阶,给出了其控制网格顶点的计算公式,最后实现了插值2次或3次Bezier曲线作为测地线的曲面束的编程实例,验证了算法的有效性；利用3次Hermite基函数,给出了插值给定两条空间Bezier曲线（彼此可相交或不相交）为测地线的有理Bezier等参曲面的构造算法,对两条测地线为3次Bezier曲线,有理Bezier等参曲面为3×6次的情形,给出了控制顶点的显式表达,并展示了在两条Bezier测地线相交或不相交的具体条件下的众多求解实例；给出了同时满足过给定两条等参曲线（彼此可相交或不相交）为测地线和曲面可展这两个约束条件的参数曲面的统一表达形式以及完成构造所需要的充分必要条件,针对三类可展曲面,展示了大量的编程实例.这些工作为工业领域中需要满足曲面可展且已知曲线为其测地线的一类复杂几何模型的表示提供了算法.4、以已知一条曲线为曲率线的可展曲面的统一表达式以及有理可展曲面的设计.利用Frenet局部正交标架,给出了以一条任意参数曲线为其公共曲率线的可展曲面束的统一参数表达式,同时讨论了表达式中两个自由变量的选取对最终可展曲面的类型所产生的影响,导出了插值一条给定Bezier曲线为公共曲率线的有理Bezier可展曲面束的精确表示存在的充要条件,最后展示了分别以圆、螺线、平面Bezier曲线或者空间Bezier曲线为曲率线来构造一般可展曲面束或有理可展曲面束的编程实例,从而验证了算法的正确性和有效性.5、以已知一条或两条正交曲线为渐近线的可展、有理可展以及一般曲面束的设计.给出了以一条任意参数曲线为其公共渐近线的一般可展曲面束的表达式,并讨论了所设计的可展曲面束的类型,进一步推导了插值给定一条Bezier曲线为其渐近线的有理Bezier可展曲面束表达式,分别展示了以圆柱螺线、圆锥螺线和Bezier曲线为渐近线的一般可展曲面以及有理Bezier可展曲面的编程实例；在以给定两条正交曲线为渐近线设计曲面束方面,利用曲线Frenet局部正交标架和3次Hermite基函数,分别讨论了当给定两条正交曲线曲率均为零、其中一条为曲率零另一条不为零、两条曲率均不为零的三类情形的曲面束设计算法,并给出了两条正交曲线为有理Bézier曲线时,这类曲面束的设计算法,通过展示众多的编程实例说明了算法的正确性和有效性.
王军辉,杨柱元,雷靖[3]（2011）在《Gauss-Weierstrass算子加Jacobi权的Lp-逼近》文中研究指明对Gauss-Weierstrass算子引入Jacobi权函数,利用带权K-泛函和加权光滑模之间的等价性,研究Gauss-Weierstrass算子的导数和函数光滑性之间的关系,得出了Gauss-Weierstrass算子加权后Lp-逼近下的特征刻划.
方中海[4]（2009）在《区间及圆域下Wang-Said型广义Ball曲线的降阶》文中认为区间和圆域算法在曲线曲面造型设计领域有重要的应用,如可用于实体造型设计的求交计算、机械运动的碰撞检测、工业产品外形的误差检测等方面。本文将区间和圆域算法应用于Wang-Said型广义Ball曲线（WSGB曲线）,定义了区间WSGB曲线和圆域WSGB曲线,随后讨论了二者的降阶逼近问题。本文用三种方法讨论了区间WSGB曲线的降阶问题,即直接对控制点扰动的几何方法、利用Chebyshev多项式导出最佳一致逼近法和插值端点的最佳一致逼近方法。而对圆域WSGB曲线的降阶处理,分两个步骤,首先采用最佳一致逼近法或插值端点的最佳一致逼近法对其中心曲线进行降阶,然后用扰动法对其半径做相应的调整。本文定义了区间和圆域WSGB曲线降阶问题的误差,随后推导出各处理方法的显式误差表示,最后给出了一些数值实例和降阶效果图,并分析了各降阶方法优劣。
陈越强[5]（2008）在《样条曲面的区间隐式化、区间曲面的降阶及区间多项式零点的研究》文中研究说明在计算机辅助几何设计中,几何信息的保存至关重要,而由于有些算法的近似性以及计算机浮点误差的存在,很多时候我们只能得到近似的结果。因此,为了保证一些几何处理中的信息不丢失,引进了区间算法的概念,也就是用一个区间来代替一个点来计算。这样就能保证理论上的精确结果包含于计算的结果中,从而避免了信息丢失。本文的主要研究内容为参数曲面的区间隐式化、区间曲面的降阶以及区间多项式的“零点”问题。我们首先说明了误差控制在计算机辅助几何设计和几何计算中的重要性,并回顾了关于这些问题的研究历史和现状,然后举例说明了引入区间算法的意义。文中首先讨论了有理B样条曲面的区间隐式化的问题,该问题是曲线情形的推广,对于曲面的相切求交等操作具有很好的应用价值。与曲线情况的先求中心曲线、再通过调整中心曲线得到边界的方法不同,本文采用直接求解区间隐式曲面的两个边界的方法。通过引入影响曲面几何形状的距离、能量、法向等约束建立最优化求解模型,然后给出了该问题的算法以及具体的算例,并讨论了该方法在实际中的应用。其次讨论区间样条曲面的降阶。区间曲面的降阶克服了减少几何处理复杂度的同时又避免了几何信息丢失的矛盾。本文分别考虑了张量积区间样条曲面的降阶,多边形域上三角剖分区间样条曲面的降阶以及区间PS曲面的降阶。接着,我们讨论了区间多项式的“零点”问题。我们知道,求解多项式的零点一直是个非常重要的工作,但是由于计算机浮点误差导致了其在实际应用中的一些限制,本文通过引入区间多项式的概念,避免了实际操作中的信息丢失。文中对于单变量情形,给出了“零点”的定义以及“零点”重数的定义,然后给出了多项式的Descartes法则、Budan-Fourier定理以及Sturm定理在区间多项式情形的推广。最后,我们考虑了两个双变量的区间多项式的“交点”个数问题,对判定两个代数曲线交点个数的Bezout定理进行了推广。
陆利正[6]（2008）在《带约束的曲线曲面逼近算法的研究》文中指出Bézier曲线和曲面是CAD/CAM系统中广泛使用的造型工具。参数曲线和曲面的降阶逼近已经成为CAGD领域的一个热点研究问题,它主要研究用低次的形式来近似逼近给定次数的曲线或曲面。降阶逼近在几何设计上有很多的应用,如数据交换、数据压缩和数据比较等。本文围绕着CAGD中Bézier曲线和三角Bézier曲面的降阶逼近问题进行了深入的研究,其主要成果及创新点如下。首先,传统的降阶方法都只考虑了曲线的参数连续,而我们利用曲线的几何信息来研究逼近问题,并首次引入了G2连续的约束。因此,曲线在端点的位置、切向和曲率大小在降阶前后能够保持一致。然后,我们提出了一个全新的方法来解决Bézier曲线在L2范数下的最佳逼近问题,它可以通过最小化曲线的L2误差这一目标函数而得到。为了避免近似曲线在端点附近出现奇异性问题,我们在目标函数里加入了修正项。此外,对于G1连续约束这一特殊情形,我们提出了另外一种基于二次规划方法的新算法,并用线性约束来满足切向在端点的一致性。此时的逼近问题就转变成一个带线性约束关于两个参数的二次规划问题。我们可以应用新算法使近似曲线的参数化更加接近于弧长参数化。其次,区间[0,1]上的多项式曲线可以表示成不同基的形式,如Bernstein和第二类Chebyshev多项式的形式。我们给出了Bernstein基和第二类Chebyshev基之间的变换矩阵,通过它们能实现Bernstein系数和Chebyshev系数的转换。接着,我们分析了基变换的稳定性,结论是:Chebyshev-Bernstein基变换矩阵的l1和l∞条件数随着次数n的增长速度远小于power-Bernstein基变换的情形,并且速度很接近（稍快于）Legendre-Bernstein基变换的情形,所以也是良态的。利用基变换矩阵,我们提出Bézier曲线在加权（t-t2）1/2平方范数下最佳的降多阶逼近方法。并将它推广到保端点r阶和s阶连续（r,s≥0）的情形,尽管不是最佳的,但是提供了一个很好的近似。该方法具有O（n2）的计算复杂度。我们建议对次数过高的曲线不要使用基于基变换的降阶算法,因为此时这类方法很可能是不稳定的。另外,我们还估计了逼近的L1误差的上界,它是后验的。最后,对于给定一张n次三角Bézier曲面,我们研究了带边界约束的用更低次数为m的三角Bézier曲面来近似逼近它。提出对曲面的三个角点进行约束,使得边界曲线在每个端点能保持Cα连续。利用约束最小二乘法最小化曲面的l2和L2距离,我们提出两种逼近算法来得到降阶后曲面控制网格的矩阵表示。这两种方法都能应用于连续拼接的三角曲面片以及与曲面细分结合使用时的情形,结果生成的近似曲面片是整体C0连续的。我们还给出了逼近的误差估计,并举例说明方法的有效性。
成敏[7]（2008）在《外形设计中的几何逼近及图形转换技术研究》文中研究指明本文围绕计算机辅助几何设计领域中的两类占有重要地位的图形处理技术——几何逼近技术以及图形转换技术展开深入研究．鉴于计算机辅助几何设计中的几何逼近问题主要针对特定的对象，采用逼近的方法用简单易操作的曲线曲面来近似代替原对象，本文主要涉及等距逼近、PH逼近、降阶逼近、合并逼近以及有理曲线多项式逼近．鉴于计算机辅助几何设计中的图形转换主要针对图形之间的渐变转化或精确转化，本文主要涉及手绘图形从首帧变到末帧的形状调配转换以及曲线在不同调配基函数下的互变转换．在系统地论述这两项技术的内容、特点、定义、研究成果的基础上，本文就以下几方面给出了创新的研究成果：（Ⅰ）几何逼近（1）针对目前逼近等距曲线大多采用多项式形式从而导致逼近曲线次数过高的弊病，我们抓住曲线参数速度这个影响等距曲线精确有理化的关键要素，基于Jacobi最佳最小二乘逼近理论，给出了有理Bézier曲线参数速度的有理多项式逼近，从而进一步导出了有理Bézier曲线的等距曲线有理逼近的新算法．该方法保持法矢平移方向，且所得逼近曲线插值原等距曲线端点．（2）针对PH曲线具有等距曲线可有理表示及曲线参数速度为多项式函数等良好特性，然而现有设计方法没有利用曲线的几何参数，因而缺乏几何内在特性导致应用困难的现状，我们以外形设计中最常用的三次PH曲线为基本模型，提出并实现了基于几何参数的一整套PH曲线的插值与逼近算法，其中基本的几何参数包括控制多边形前后两个边向量的长度之比ρ及夹角θ，控制多边形首个边向量的长度L及其与首个控制顶点向量的夹角δ，以及曲线转向Dir．对于一条三次PH曲线的端点插值，推导了其Bézier表示的条件方程．进一步，对于一条非三次PH曲线的保端点逼近，分别给出了基于{δ，θ}，{ρ，θ}以及{ρ，δ}这三种几何参数的算法，导出了相应的逼近误差界．（3）针对NURBS曲面由于节点处理困惑表达形式复杂导致其降阶逼近研究明显缺乏的现状，我们基于NURBS曲面的显式矩阵表示，结合Chebyshev多项式逼近理论，提出一种NURBS曲面降阶新方法．分别对一小片NURBS曲面和整张NURBS曲面进行降多阶，并导出了误差界计算公式．对整张曲面降阶时先分别对各小片操作，再对各片降阶逼近曲面的控制顶点集中其下标相重的部分做加权平均得到最终的整张降阶逼近曲面．提出的算法可以一次降多阶，所得NURBS降阶逼近曲面具有显式表达式，实现了NURBS曲面降阶的最佳或近似最佳一致逼近．（4）针对多段曲线合并为工程急需但从未有人加以研究的现状，我们利用Bézier曲线离散后的矩阵表示，给出不同次数的若干段子曲线可精确合并的统一的矩阵表示．采用广义逆矩阵求解方法求出逼近合并曲线的控制顶点．在合并过程中，同时考虑了合并Bézier曲线在左右端点处与原Bézier曲线族插值或者达到高阶插值的合并．（5）针对有理曲线多项式逼近的精度与速度尚不尽如人意的现状，我们导出有理Bézier曲线多项式逼近的矛盾方程组，进一步基于广义逆矩阵理论，给出了矩阵表示的最小二乘解．结合对于由原有理曲线权因子为Bézier纵标生成的多项式升阶，实现在保持多项式逼近曲线次数不变的同时，有效地提高有理Bézier曲线的多项式曲线逼近的精度．（Ⅱ）图形转换（1）基于艺术图形应用价值高、然而传统手绘方法成本大的现实，我们提出一种新的关键帧动画方法来自动生成艺术手绘图形系列．引入圆域B样条曲线作为艺术手绘图形的轮廓线模型，并对首末两帧圆域B样条曲线的内在几何特征量进行调配．对于给定的艺术手绘图形的首末两帧，首先基于骨架线提取技术给出其骨架线，进一步生成其圆域B样条曲线表示，最后通过插值首末两帧圆域B样条曲线的内在量得到中间帧，从而快速有效地实现艺术手绘图形的形状调配．（2）基于B样条基具有标准全正性和局部支柱性，所构造的曲线兼具保形性及形状局部可调性的现实，同时也基于2003年Delgado和Pe（?）a提出的另一类用标准全正基（DP-NTP基）构造的新曲线虽具保形性及求值运算的线性时间复杂度，但没有形状局部可调性的现实，为了使它们实现优势互补，并在不同的造型系统之间进行数据的交换和传递，我们给出了均匀B样条曲线与DP-NTP曲线的相互转换，其结果可在CAD系统中，尤其在曲线曲面需要快速求值或形状局部可调的场合得到相当广泛的应用．
陈越强,冯玉瑜,邓建松[8]（2007）在《有理B样条曲面的区间隐式化》文中认为提出有理B样条曲面的区间隐式化方法,即对一个有理B样条曲面,寻求包含给定的曲面的区间隐式B样条曲面,使得区间隐式B样条曲面的“厚度”尽量小,同时尽量避免出现多余分支.该问题等价于求区间隐式B样条曲面的2个边界曲面.针对该问题建立一个最优化模型并求解.
李亚娟[9]（2007）在《样条曲线曲面的造型与形状调整的研究》文中研究表明本文围绕着CAGD中常用的几种曲线曲面造型和形状调整进行了深入的研究，主要获得了以下一些成果：首先，证明了代数三角空间中的n次均匀C-B-spline基是一组标准全正基，并进一步扩充为一组标准B基．C-B-spline基与C-Bézier基是多项式与三角混合空间中的两组基，是适应工程实践中设计特殊曲线曲面的需要而产生的，类似于多项式空间中的B-spline基与Bézier基，是CAGD中重要的造型工具。本文用递推的方法，计算出代数三角空间中的n次C-Bézier基与n次均匀C-B-spline基之间的转换矩阵，并把该矩阵分解为一系列二对角阵的乘积，从而证明出n次均匀C-B-spline基是一个标准全正基，进一步用插入节点的方法，把它扩充为一组标准B基，从而我们可以利用B基的很多优良性质，在工程应用中对这两组基进行开发利用。其次，发现了上述C-曲线随形状因子α变化时产生的α-路径，可以近似的线性化，而且拥有一些很好的性质，从而可以把C-曲线的一些非线性问题线性化。这里’路径’指的是α变动时曲线上的点所经过的运动轨迹。我们依靠关系参数和线性逼近方法对路径进行了研究，并且把相关结果用于C-曲线的形状控制与调整，收到了很好的效果。再次，指出了B样条曲线和曲面当节点发生改变的时候，形成的包络曲线曲面的性质和点的收敛情况，并利用曲线包络的性质和改变节点的方法，对NURBS曲线进行了几种形状调整。变动k阶B样条曲线的一个a重节点，所得曲线族的包络恰好是一条由同一控制多边形定义的k-a阶B样条曲线，且二者保持若干阶切触。这个结论可以类似的推广到NURBS曲线和张量积曲面上来。而如果对称的改变曲线曲面上的若干个节点，曲线曲面上的点会收敛到控制网格所确定的一个特定点上。本文运用以上有关理论成果，提出了建立在修改节点基础上的几种NURBS形状控制方法。其结果可以作为计算机辅助设计系统中曲线面造型和形状修改的理论参考，从而大大增加了曲线面造型和形状修改的方法，具有实用价值。最后，通过区间曲线曲面的性质和三角域上的Bernstein样条函数，重心坐标的概念，实现了有理曲线／曲面的近似隐式化。可以用一个低阶多项式隐式曲线／曲面来逼近所给的参数式有理曲线／曲面，同时使一些目标函数最小化，减少了需要解的方程组的维数，降低了计算量，改进了计算精度和速度。该区间隐式曲线／曲面的中心曲线／曲面可以近似逼近有理曲线／曲面，其逼近的误差可以利用区间隐式曲线／曲面的区间宽度进行估计。
李宁,王仁宏[10]（2007）在《有理Bézier曲面的区间隐式化》文中指出本文依据以往的研究引入了有理Bézier曲面的区间隐式化的概念,即找到一条较低次的区间代数曲面使得给出的有理Bézier曲面落在该区间代数曲面内,并使得该区间代数曲面的宽度达到最小．文中给出了一个通过解一个带有线性限制条件的二次优化问题来计算一有理Bézier曲面的区间代数曲面的算法,并用实例演示了该算法．
二、有理曲面的区间Bézier曲面的逼近（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、有理曲面的区间Bézier曲面的逼近（论文提纲范文）
（1）基于M（o|¨）bius变换的二次曲面的双四次多项式逼近（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.1.1 研究背景 |
| 1.1.2 研究意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 有理B(?)zier曲线的多项式逼近的研究现状成果 |
| 1.2.2 有理B(?)zier曲面的多项式逼近的研究现状成果 |
| 1.3 研究内容与主要贡献 |
| 1.4 本文的结构 |
| 1.5 本章小结 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 有理张量积B(?)zier曲面的定义和性质 |
| 2.1.1 有理张量积B(?)zier曲面的定义 |
| 2.1.2 有理张量积B(?)zier曲面的性质 |
| 2.2 张量积B(?)zier曲面的定义和性质 |
| 2.2.1 张量积B(?)zier曲面的定义 |
| 2.2.2 张量积B(?)zier曲面的性质 |
| 2.3 Hausdorff距离 |
| 2.4 M(o|¨)bius参数变换 |
| 2.4.1 M(o|¨)bius参数变换下的有理张量积B(?)zier曲面 |
| 2.5 问题的提出 |
| 第三章 基于重新参数化的有理曲面的约束逼近 |
| 3.1 约束控制顶点的计算 |
| 3.2 非约束控制顶点的计算 |
| 第四章 距离函数极小化及实例分析 |
| 4.1 距离函数极小值的求解 |
| 4.2 实例分析 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（2）带约束的各类曲面逆向设计和曲线降阶逼近（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 CAGD发展简史 |
| 1.2 曲线降阶逼近的相关研究 |
| 1.2.1 Bézier曲线系列的降阶逼近 |
| 1.2.2 B样条曲线系列降阶逼近 |
| 1.2.3 Ball曲线系列的降阶逼近 |
| 1.3 可展曲面造型的相关研究 |
| 1.4 极小曲面造型的相关研究 |
| 1.5 曲面上三类特殊曲线的相关研究 |
| 1.5.1 测地线 |
| 1.5.2 曲率线 |
| 1.5.3 渐近线 |
| 1.6 本文的研究内容和体系结构 |
| 第二章 端点受高阶约束的WSGB曲线的显式最佳降多阶逼近 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 符号约定与预备知识 |
| 2.3 显式约束最佳降多阶公式的导出 |
| 2.3.1 WSGB基、幂基与Jacobi基之间的相互转换公式 |
| 2.3.2 WSGB曲线显式约束最佳降多阶的算法与误差估计 |
| 2.4 数值试验实例 |
| 2.4.1 取位置参数L=0(Said-Ball曲线),降1阶 |
| 2.4.2 取参数L=1,s=1,v=2(其他曲线),降1阶 |
| 2.4.3 取参数L=2,s=1,v=2(Wang-Ball曲线),降3阶 |
| 2.5 结论 |
| 第三章 以给定空间闭折线为边界线的离散极小曲面设计 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 求解过程简述 |
| 3.3 离散平均曲率的求值与求导 |
| 3.3.1 离散平均曲率及其能量函数的定义 |
| 3.3.2 离散平均曲率的关于对应顶点的导数 |
| 3.4 用迭代最小二乘求解 |
| 3.5 实例和误差分析 |
| 3.5.1 正螺面(Helicoids)：r(u,v)=(u~*cosv,u~*sinv,b~*v) |
| 3.5.2 马鞍面(Catenoid)：r(u,v)=(cosu~*cosh v,b~*v,cosu~*sinh v) |
| 3.5.3 Scherk曲面：z=1/(b*ln(cos(by)/cos(bx))) |
| 3.5.4 模拟工程上的索膜结构 |
| 3.6 结论 |
| 第四章 以一条给定空间曲线为测地线的有理可展曲面的设计 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.2.1 具公共测地线的可展等参曲面的一般性表示 |
| 4.2.2 Bézier曲线的乘积、求导以及升阶 |
| 4.3 以一条已知空间曲线为公共测地线的有理Bézier可展曲面束 |
| 4.4 编程求解实例 |
| 4.4.1 插值2次Bézier曲线 |
| 4.4.2 插值3次Bézier曲线 |
| 4.5 总结 |
| 第五章 以两条给定空间等参曲线为测地线的两类曲面设计 |
| 5.1 以两条已知空间等参曲线为测地线的有理等参曲面设计 |
| 5.1.1 引言 |
| 5.1.2 预备知识 |
| 5.1.3 以两条已知曲线为测地线的有理Bézier等参曲面 |
| 5.1.4 编程实例 |
| 5.1.5 结论 |
| 5.2 以两条已知空间等参曲线为测地线的可展等参曲面 |
| 5.2.1 引言 |
| 5.2.2 预备知识 |
| 5.2.3 以一条已知空间曲线为公共测地线的可展曲面束 |
| 5.2.4 以两条已知空间等参曲线为测地线的可展曲面 |
| 5.2.5 实例演示 |
| 5.2.6 总结 |
| 第六章 以一条给定空间等参曲线为其曲率线的有理可展曲面设计 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 预备知识 |
| 6.2.1 Frenet-Serret公式 |
| 6.2.2 曲面上的曲率线 |
| 6.3 具有公共弧长参数曲率线的一般可展曲面束 |
| 6.3.1 以一条已知的弧长参数曲线作为公共曲率线的曲面束 |
| 6.3.2 插值一条已知弧长参数曲线的可展曲面束 |
| 6.3.3 以一条已知弧长参数曲线作为公共曲率线的可展曲面束 |
| 6.4 具有公共任意参数曲率线的一般可展曲面束 |
| 6.5 以Bézier曲线为公共曲率线的有理Bézier可展曲面束 |
| 6.6 编程实例 |
| 6.6.1 给定曲线为圆 |
| 6.6.2 给定曲线为螺线 |
| 6.6.3 给定曲线为Bézier曲线 |
| 6.7 结论 |
| 第七章 以一条给定空间等参曲线为其渐近线的可展以及有理可展曲面的设计 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 预备知识 |
| 7.3 具有一条公共任意参数等参渐近线的可展曲面束 |
| 7.3.1 以一条已知的任意参数曲线为公共渐近线的曲面束以及插值一条曲线的可展曲面 |
| 7.3.2 以一条已知的任意参数曲线作为公共渐近线的可展曲面束 |
| 7.4 以一条已知的Bézier曲线为公共渐近线的有理Bézier可展曲面束 |
| 7.5 实例展示 |
| 7.5.1 给定曲线为圆柱螺线 |
| 7.5.2 给定曲线为圆锥螺线 |
| 7.5.3 给定曲线为Bézier曲线 |
| 7.6 总结 |
| 第八章 以两条给定正交曲线为渐近线的曲面束的设计 |
| 8.1 引言 |
| 8.2 预备知识 |
| 8.3 以两条已知的正交曲线为渐进线的曲面束的设计 |
| 8.3.1 情况1：给定的两条正交曲线的曲率均不为零 |
| 8.3.2 情况2:给定的两条正交曲线,其中一条曲率为零,另一条不为零 |
| 8.3.3 情况3：给定的两条正交曲线的曲率均为零 |
| 8.4 以两条给定正交有理Bézier曲线为渐近线的曲面束的设计 |
| 8.5 实例分析 |
| 8.5.1 R_1(u),R_2(v)曲率均为零,设计曲面束 |
| 8.5.2 R_1(u)曲率为零,R_2(v)曲率不为零,设计曲面束 |
| 8.5.3 R_1(u),R_2(v)曲率均不为零,设计曲面束 |
| 8.5.4 R_1(u),R_2(V)有理Bézier曲线,设计曲面束 |
| 8.6 总结 |
| 第九章 未来研究展望 |
| 参考文献目录 |
| 攻读博士期间的科研成果 |
| 个人简介 |
| 致谢 |
（3）Gauss-Weierstrass算子加Jacobi权的Lp-逼近（论文提纲范文）
| 1 相关概念和引理 |
| 2 主要结论 |
（4）区间及圆域下Wang-Said型广义Ball曲线的降阶（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 致谢 |
| 第一章 背景知识 |
| 1.1 本文的背景 |
| 1.2 WSGB 曲线的由来 |
| 1.3 WSGB 曲线的定义 |
| 1.4 WSGB 曲线的基本性质 |
| 1.5 WSGB 曲线的可精确降阶条件 |
| 1.6 WSGB 基函数与Bernstein 基函数的关系 |
| 1.7 WSGB 曲线的细分 |
| 第二章 区间WSGB 曲线的降阶 |
| 2.1 区间算法的介绍 |
| 2.2 区间WSGB 曲线的定义和边界 |
| 2.3 上边界WSGB 多项式的降阶 |
| 2.3.1 问题的提出 |
| 2.3.2 扰动法 |
| 2.3.3 最佳一致逼近 |
| 2.3.4 约束最佳一致逼近 |
| 2.4 区间WSGB 曲线的降阶 |
| 2.5 误差分析 |
| 2.5.1 扰动法误差 |
| 2.5.2 最佳一致逼近法误差 |
| 2.5.3 约束最佳一致逼近法误差 |
| 2.5.4 区间WSGB 曲线降阶逼近的误差 |
| 2.6 数值实例 |
| 2.7 总结分析 |
| 第三章 圆域WSGB 曲线的降阶 |
| 3.1 圆域算法的介绍 |
| 3.2 圆域WSGB 曲线的降阶问题 |
| 3.3 中心曲线的降阶 |
| 3.3.1 中心曲线的最佳一致逼近法降阶 |
| 3.3.2 保端点的中心曲线的最佳一致逼近法 |
| 3.3.3 两种降阶方法的误差 |
| 3.4 半径曲线的降阶处理 |
| 3.5 圆域WSGB 曲线降阶的误差 |
| 3.6 数值实例与分析 |
| 第四章 总结展望 |
| 4.1 全文总结 |
| 4.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表的论文及参与的项目 |
（5）样条曲面的区间隐式化、区间曲面的降阶及区间多项式零点的研究（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 引言 |
| §1.2 区间算法及其性质 |
| §1.3 区间多项式 |
| §1.4 区间曲线曲面 |
| §1.5 本文内容结构 |
| 第二章 B样条曲面的区间隐式化 |
| §2.1 引言 |
| §2.2 区间隐式B样条曲面 |
| §2.3 有理B样条曲面的区间隐式化 |
| §2.4 几个例子 |
| §2.5 结论 |
| 第三章 区间样条曲面的降阶逼近 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 矩形域上区间B样条曲面的降阶逼近 |
| §3.2.1 区间B样条曲面的定义 |
| §3.2.2 矩形域上区间B样条曲面的降阶 |
| §3.3 三角剖分的区间样条曲面降阶 |
| §3.3.1 三角域上的Bernstein多项式 |
| §3.3.2 多边形域上的三角剖分样条曲面 |
| §3.3.3 多边形域上三角剖分区间样条曲面的降阶 |
| §3.3.4 几个算例 |
| §3.4 区间Powell-Sabin曲面的降阶逼近 |
| §3.4.1 Powell-Sabin样条空间 |
| §3.4.2 用区间PS曲面来降阶逼近一般区间曲面 |
| §3.5 小结 |
| 第四章 单变量区间多项式的"零点"个数判定及求解 |
| §4.1 定义与性质 |
| §4.2 区间多项式"零点"个数判定 |
| §4.2.1 区间Descartes法则及其衍生判定定理 |
| §4.2.2 区间Budan-Fourier定理 |
| §4.2.3 区间Sturm定理 |
| §4.3 小结 |
| 第五章 多变量区间多项式的"交点"研究 |
| §5.1 引言 |
| §5.2 定义与性质 |
| §5.3 二元区间多项式的的复"交点"个数判定 |
| §5.4 二元区间多项式的的实"交点"个数判定 |
| §5.5 小结 |
| 第六章 结论与展望 |
| §6.1 本文工作 |
| §6.2 将来工作 |
| 参考文献 |
| 作者攻读博士期间完成论文 |
（6）带约束的曲线曲面逼近算法的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 CAGD中曲线曲面造型技术 |
| 1.2 多项式空间的基变换 |
| 1.3 曲线降阶逼近方法 |
| 1.3.1 基于控制顶点逼近的几何方法 |
| 1.3.2 基于基变换的代数方法 |
| 1.4 曲面降阶逼近方法 |
| 1.4.1 张量积Bézier曲面的降阶方法 |
| 1.4.2 三角Bézier曲面的降阶方法 |
| 1.5 本文的结构 |
| 第二章 Bézier曲线保端点G~2连续的降阶方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 几何连续的曲线降阶问题 |
| 2.3 带G~1连续约束的曲线降阶算法 |
| 2.3.1 G~1连续条件 |
| 2.3.2 共轭梯度算法Ⅰ |
| 2.4 带G~2连续约束的曲线降阶算法 |
| 2.4.1 G~2连续条件 |
| 2.4.2 共轭梯度算法Ⅱ |
| 2.5 实例比较 |
| 2.6 带G~1连续约束曲线降阶的改进算法 |
| 2.6.1 二次规划算法 |
| 2.6.2 端点附近局部调整 |
| 2.6.3 在最优参数化上的应用 |
| 第三章 Chebyrshev Ⅱ-Bernstein基变换矩阵及应用 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 Bernstein多项式和第二类Chebyshev多项式 |
| 3.3 基变换矩阵 |
| 3.4 基变换的稳定性分析 |
| 3.5 基变换矩阵在曲线降阶上的应用 |
| 3.5.1 无端点连续约束的情形 |
| 3.5.2 两个端点都有连续约束的情形 |
| 3.5.3 只一个端点有连续约束的情形 |
| 3.6 实例分析 |
| 第四章 三角Bézier曲面带边界约束的降阶方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 三角Bézier曲面及其性质 |
| 4.2.1 基本概念和符号 |
| 4.2.2 三角Bézier曲面的矩阵表示 |
| 4.2.3 三角Bézier曲面的升阶算子 |
| 4.3 三角Bézier曲面降阶的问题描述 |
| 4.4 基于l_2距离的曲面降阶算法 |
| 4.4.1 受约束的曲线逼近 |
| 4.4.2 受约束的曲面逼近 |
| 4.5 基于L_2距离的曲面降阶算法 |
| 4.5.1 受约束的曲线逼近 |
| 4.5.2 受约束的曲面逼近 |
| 4.6 误差估计及实例 |
| 4.7 小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历与攻读学位期间发表的论文 |
| 致谢 |
（7）外形设计中的几何逼近及图形转换技术研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 CAGD的简要发展史 |
| 1.2 CAGD中的几何逼近技术 |
| 1.3 CAGD中的图形转换技术 |
| 1.4 本文的主要研究内容和结果 |
| 第二章 等距曲线有理逼近 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 曲线参数速度的代数逼近 |
| 2.3 基于参数速度逼近的Bézier等距曲线有理逼近 |
| 2.4 有理Bézier等距曲线的代数逼近 |
| 2.5 演算实例 |
| 2.6 小结 |
| 第三章 基于几何参数的三次PH曲线插值与逼近 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 基于几何参数的三次PH曲线设计 |
| 3.3 基于几何参数的三次Bézier曲线端点PH插值及保端点PH逼近 |
| 3.4 三次PH曲线逼近的误差 |
| 3.5 演算实例 |
| 3.6 小结 |
| 第四章 NURBS曲面的显式降多阶逼近 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 NURBS曲面的显式矩阵表示 |
| 4.3 NURBS曲面降多阶新算法 |
| 4.4 误差界估计 |
| 4.5 演算实例 |
| 4.6 小结 |
| 第五章 多段Bézier曲线的逼近合并 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 对于可精确地合并的条件作统一矩阵表示 |
| 5.3 多段Bézier曲线的合并逼近 |
| 5.4 端点插值约束 |
| 5.5 演算实例 |
| 5.6 小结 |
| 第六章 有理Bézier曲线的多项式逼近新方法 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 基于有理Bézier曲线升阶顶点的多项式逼近 |
| 6.3 把权值均衡化的重参数化技术引入基于有理曲线升阶顶点的多项式逼近 |
| 6.4 基于广义逆和权值多项式函数升阶的有理Bézier曲线定次数多项式逼近 |
| 6.5 小结 |
| 第七章 基于圆域B样条表示的艺术手绘图形的形状调配 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 艺术手绘图形的圆域B样条曲线表示 |
| 7.3 用圆域B样条曲线表示的关键帧的形状调配 |
| 7.4 演算实例 |
| 7.5 小结 |
| 第八章 均匀B样条基与DP-NTP基之间的转换与应用 |
| 8.1 引言 |
| 8.2 DP-NTP基函数及均匀B样条基函数 |
| 8.3 均匀B样条基到DP-NTP基的转换 |
| 8.4 DP-NTP基到均匀B样条基的转换 |
| 8.5 转换矩阵的应用与演算实例 |
| 8.6 小结 |
| 第九章 未来研究展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间完成论文情况 |
（8）有理B样条曲面的区间隐式化（论文提纲范文）
| 1 区间算法和区间隐式B样条曲面 |
| 2 有理B样条曲面的区间隐式化 |
| 3 例 子 |
| 4 结 论 |
（9）样条曲线曲面的造型与形状调整的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 参数曲线曲面造型技术 |
| 1.2 隐式曲线曲面造型技术 |
| 1.3 混合形式的样条曲线曲面造型 |
| 1.4 曲面重建与简化 |
| 1.5 本文主要研究工作 |
| 第二章 C-样条的最优保形性 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 几种常用的造型曲线 |
| 2.3 两组基之间的转换矩阵 |
| 2.4 均匀C-spline基的全正性 |
| 2.5 标准B基 |
| 2.6 C-B-spline曲线的收敛性 |
| 2.7 小结 |
| 第三章 C-样条的路径研究与形状调整 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 C-Bézier曲线的α-路径和扩展 |
| 3.3 逼近α-路径的直线 |
| 3.4 对称直线的交点 |
| 3.5 C-B-spline曲线的α-路径和逼近直线 |
| 3.6 通过给定点的C-Bézier曲线 |
| 3.7 小结 |
| 第四章 B样条的包络与形状调整 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 B样条曲线的节点与包络 |
| 4.3 NURBS曲线形状调整的单节点变动法 |
| 4.4 B样条曲面的节点与包络 |
| 4.5 多节点变动下曲线曲面的性质 |
| 4.6 小结 |
| 第五章 有理曲线曲面的区间隐式化 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 重心坐标 |
| 5.3 区间隐式曲线与曲面 |
| 5.4 有理曲线的均匀区间隐式化 |
| 5.5 有理曲面的区间隐式化 |
| 5.6 小结 |
| 第六章 结论与展望 |
| 发表文章目录 |
| 致谢 |
四、有理曲面的区间Bézier曲面的逼近（论文参考文献）
- [1]基于M（o|¨）bius变换的二次曲面的双四次多项式逼近[D]. 杨洁. 浙江工商大学, 2017(06)
- [2]带约束的各类曲面逆向设计和曲线降阶逼近[D]. 刘羽. 浙江大学, 2012(05)
- [3]Gauss-Weierstrass算子加Jacobi权的Lp-逼近[J]. 王军辉,杨柱元,雷靖. 云南大学学报(自然科学版), 2011(S2)
- [4]区间及圆域下Wang-Said型广义Ball曲线的降阶[D]. 方中海. 合肥工业大学, 2009(11)
- [5]样条曲面的区间隐式化、区间曲面的降阶及区间多项式零点的研究[D]. 陈越强. 中国科学技术大学, 2008(06)
- [6]带约束的曲线曲面逼近算法的研究[D]. 陆利正. 浙江大学, 2008(03)
- [7]外形设计中的几何逼近及图形转换技术研究[D]. 成敏. 浙江大学, 2008(07)
- [8]有理B样条曲面的区间隐式化[J]. 陈越强,冯玉瑜,邓建松. 计算机辅助设计与图形学学报, 2007(07)
- [9]样条曲线曲面的造型与形状调整的研究[D]. 李亚娟. 浙江大学, 2007(06)
- [10]有理Bézier曲面的区间隐式化[J]. 李宁,王仁宏. 数值计算与计算机应用, 2007(01)